meetkunde

MobileMobile

We hebben 66 gasten en geen leden online

De vergelijking van een cirkel opstellen


[Terug naar overzicht hoofdstuk]     [Oefening 1]      [Oefening 2]


 

> Vergelijking van een cirkel opstellen als straal en middelpunt gegeven zijn

Als van een cirkel het middelpunt M met coördinaat (x1,y1) en de straal r gekend zijn, kunnen we een vergelijking van de cirkel opstellen met de algemene formule:

 (x–x1)² + (y–y1)² = r²

Deze vorm kunnen we omvormen naar de algemene vergelijking van de cirkel:

x² + y² + 2ax + 2by + c = 0

Voorbeeld

We bepalen de algemene vergelijking van de cirkel met middelpunt (6,2) en straal 3

→ De coördinaat (x1,y1) = (6,2) en straal r = 3 worden ingevuld in de algemene hierboven aangeleerde formule: (x–6)² + (y–2)² = 3²

→ Vervolgens werken we verder uit en vinden we x² – 12x + 36 + y² – 4y + 4 = 9

→ Als we de ‘9’ naar het linkerlid overbrengen, vinden we volgende vergelijking:

     x² – 12x + 36 + y² – 4y + 4 - 9 = 0

→ We werken nog verder uit en brengen x² + y² voorop:

     x² + y² – 12x – 4y + 31 = 0

     (dit is de algemene vergelijking van de cirkel)

 

> Middelpunt en straal van een cirkel bepalen als de vergelijking gegeven is

Een vergelijking van de vorm x² + y² + 2ax + 2by + c = 0 is niet noodzakelijk een vergelijking van een cirkel! Om na te gaan of een vergelijking effectief deze van een cirkel is, rekenen we eerst de waarde van a² + b² – c uit. We onderscheiden hierbij drie situaties:

a² + b² – c > 0 

De vergelijking vormt een cirkel met

M(–a, –b)  

 vergelijking cirkel 

 a² + b² – c = 0  De vergelijking vormt een cirkel waarvan de straal 0 is
 a² + b² – c < 0  De vergelijking vormt geen cirkel


Voorbeeld:

We gaan na of x² + y² – 8x – 12y + 3 = 0 de vergelijking voorstelt van een cirkel. Indien dit het geval is, bepalen we het middelpunt en de straal van deze cirkel.

→ We bepalen de waarde van a, b en c en vinden dat a = – 4 ; b = – 6 en c = 3

→ We berekenen vervolgens a² + b² – c:  (–4)² + (–6)² – 3 = 16 + 36 – 3 = 49

→ Aangezien we het positieve getal 49 uitkomen, stelt de gegeven vergelijking wel degelijk deze van een cirkel voor.

→ De straal van de cirkel is bijgevolg gelijk aan de vierkantswortel van 49, dus 7.

→ De coördinaat van het middelpunt is gelijk aan (–a, –b) = (4,6)

Opmerking: Indien de vergelijking van de cirkel in de vorm x² + y² = r² staat, vinden we het middelpunt en de straal onmiddellijk! Cirkels met een vergelijking van deze vorm hebben steeds de oorsprong als middelpunt en r als straal.

Voorbeelden:

De cirkel met vergelijking ‘x² + y² = 9’ heeft de oorsprong (0,0) als middelpunt en straal 3

De cirkel met vergelijking ‘x² + y² = 16’ heeft de oorsprong (0,0) als middelpunt en straal 4