getallenleer

MobileMobile

We hebben 54 gasten en geen leden online

De tweetermen x³-a³ en x³+a³ ontbinden in factoren


[Terug naar overzicht hoofdstuk]      [Oefening]


Ben je vergeten wat het juist betekent om een veelterm te ontbinden in factoren? Klik dan eerst hier!

We weten reeds dat x2 – a2 = (x–a).(x+a)

→ We onderzoeken nu of ook x3 – a3 te ontbinden valt in factoren.

→ Door gebruik te maken van de reststelling weten we dat D(x) = x3 – a3 deelbaar is door x – a, aangezien f(a) = a3 – a3 = 0. 

→ We passen de regel van Horner toe om het quotiënt te bepalen:

ontbinden in factoren

→ We vinden, zoals verwacht, dat de rest 0 is. Het quotiënt q(x) is gelijk aan x2 + ax + a2    

→ De veelterm D(x) = x3 – a3 kan bijgevolg genoteerd worden als (x–a)(x2+ax+a2).

ontbinden in factoren

Voorbeeld:

We ontbinden x3 – 8 in factoren. Hierbij proberen we om zowel voor als na het minteken een derdemacht te bekomen. We stellen vast dat 8 geschreven kan worden als 23. We herschrijven de opgave dus tot x3 - 23. Door bovenstaande formule toe te passen vinden we dat  x3 – 23 = (x–2) (x2+2x+4).

Op analoge wijze kunnen we nu afleiden dat ook x3 + a3 ontbonden kan worden. De deler in dit geval is x+a, want f(–a) = (–a)3 + a3 = –a3 + a3 = 0. Met de regel van Horner vinden we dat het quotiënt gelijk is aan x2 – ax + a2

ontbinden in factoren


ontbinden in factoren

Voorbeeld:

Door bovenstaande formule correct toe te passen, vinden we dat x6 + 27 = (x2+3) (x4–3x2+9).

Vergeet niet om altijd eerst de gemeenschappelijke factoren af te zonderen!

Voorbeeld:

2x6 + 54 = 2(x6 + 27) = 2(x2+3) (x4–3x2+9)