functies

Bol.com AlgemeenBol.com Algemeen

We hebben 39 gasten en geen leden online

Definitie van een tweedegraadsfunctie, grafiek, dalparabolen en bergparabolen, vergelijking van de symmetrieas, coördinaat van de top


[Terug naar overzicht hoofdstuk]          [Overzicht oefeningen]


Elke functie f(x) = ax² + bx + c waarbij a, b en c reële getallen zijn (en a≠0), noemen we een tweedegraadsfunctie. De hoogst voorkomende exponent van de veranderlijke x is dus gelijk aan twee.

Voorbeelden van tweedegraadsfuncties:

f(x) =  7x² + 8x + 3             waarbij a = 7; b = 8 en c = 3          

f(x) =  –9x² + 3x – 5           waarbij a = –9; b = 3 en c = –5          

f(x) = 12x² + 4                    waarbij a = 12; b = 0 en c = 4          

f(x) =  –2x² + 7x                 waarbij a = –2; b = 7 en c = 0          

f(x) = 4x²                            waarbij a = 4; b = 0 en c = 0          

 

> Grafiek en benamingen

De grafiek van een tweedegraadsfunctie wordt een parabool genoemd. Elke parabool heeft een symmetrieas, een rechte die evenwijdig loopt met de y-as. Het snijpunt van deze symmetrieas met de parabool zelf, wordt de top genoemd.

Voorbeeld:

We bekijken de grafiek van de functie f(x) = x², op basis van onderstaande waardentabel:

waardentabel parabool

Ter verduidelijking: als x = –3, vinden we als functiewaarde 9, want (–3)² = 9

 

We stellen vast dat de y-as (met vergelijking x = 0) de symmetrieas is van bovenstaande parabool. Om het begrip ‘symmetrieas’ te verduidelijken, zijn er enkele symmetrische punten in eenzelfde kleur aangeduid. We zien duidelijk dat deze punten symmetrisch liggen t.o.v. de y-as!

De coördinaat van de top, het snijpunt van de parabool met de symmetrieas, is (0,0). Merk op dat er dus ook van een top gesproken wordt indien de parabool de vorm van een dal heeft! Dit is in het begin misschien een beetje verwarrend.

 

> Dal-en bergparabolen

Of de grafiek van een functie een dal-of bergparabool oplevert, hangt af van de openingscoëfficiënt a (niet te verwarren met de richtingscoëfficiënt van een rechte).

  • Indien a > 0, spreken we van een dalparabool
  • Indien a < 0, spreken we van een bergparabool

Voorbeeld:

We tekenen de grafieken van f(x) = x² (waarbij a = 1, dus dalparabool) en g(x) = –x² (waarbij a = –1, dus bergparabool).

 

Waardentabel:

parabool

 

Grafieken:

parabolen benamingen

Onthoud: Hoe groter de absolute waarde van a, hoe smaller de opening van de parabool zal zijn!

 

Hieronder kan je via de schuifknop zelf een waarde toekennen voor a in f(x) = ax². Vervolgens zal de bijhorende grafiek getekend worden en kan je het verschil zien tussen een dalparabool en een bergparabool.


 Overzicht oefeningen


Oefening: Ken jij de waarde van a, b en c in f(x) = ax² + bx + c?

Oefening: Ken jij de belangrijkste benamingen i.v.m. parabolen?

Oefening: Kan jij de vorm, symmetrieas en top van een parabool bepalen?

Oefening: Kan jij de top en enkele symmetrische punten van een parabool bepalen?

Oefening: Kan jij de functiewaarde van een tweedegraadsfunctie berekenen?

Oefening: Kan jij de functiewaarde van een tweedegraadsfunctie berekenen?